前一篇写了向量的基础运算及应用，这一篇就轮到矩阵了。

 

矩阵

首先来说一下矩阵的基础概念。

由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：

矩阵的加减运算方法是同位置的元素的相加减，因此加减运算时行数和列数必须相同，例如

数乘矩阵则是数和矩阵的每一个元素相乘。

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。

矩阵的转置满足以下规律

当矩阵的转置等于它自身，即矩阵沿左上-右下对角线对称时，该矩阵就被称为对称矩阵，例如

而当对角线处的元素都为1，其他元素都为0时，该矩阵则被称为单位矩阵，例如

 

矩阵的乘法

矩阵的乘法比较特殊，A和B能进行乘法的前提是A的列数等于B的行数，最后得到的结果矩阵C的行数和A矩阵相同，列数和B矩阵相同，即(M x N)(N x P) = (M x P)。

对于相乘结果第i行第j列的元素，计算方式及示例如下

这个计算方式可以理解为A矩阵的第i行点乘B矩阵的第j列。

显然矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配率。

当A矩阵乘以单位矩阵时，结果仍是A矩阵本身；而当A矩阵与B矩阵的乘积是单位矩阵时，则称A和B互逆，是对方的逆矩阵。

 

向量与矩阵的关联

在前文中说过，在计算机图形学中一般把向量写成纵向的列向量，或者说是向量的转置，此时可以当做一个n行1列的矩阵，进行矩阵的运算。

例如对一个点的二维坐标进行沿y轴的对称变换操作，只需要用一个特定的矩阵乘以该坐标即可。

而向量的点乘也可以写成一个1行n列的矩阵与n行1列的矩阵相乘，最终结果当然是一个1行1列的常数。

向量的叉乘也可以写成矩阵相乘形式如下

 

变换矩阵

变换矩阵 (Transformation Marices) 在图形学中的重要性不用多说，一切物体的缩放，旋转，位移，都可以通过变换矩阵得到。同时在投影 (projection) 变换的时候也有很多应用，下面会介绍一些简要的变换矩阵。

 

2D线性变换

将如下图所示的简单矩阵乘法定义为对向量(x,y)的线性变换，这样只要找到每个坐标变换对应的特定矩阵形式，就可以将坐标变换与矩阵计算联系起来。

 

缩放(scaling)

缩放变换是一种沿着坐标轴作用的变换，定义缩放矩阵如下:

例如：

 

剪切（shearing）

所谓剪切就是把物体一边固定，另一边向侧方拉拽，剪切拉伸矩阵定义如下

分别对应了x轴和y轴的拉伸

 

旋转（rotation）

沿原点旋转的变换矩阵要稍微复杂一下，定义如下

证明过程很简单，既然这个旋转变换矩阵对于图形上的每个点都成立，那么就找到几个特殊的点带入公式，求这个2×2矩阵的元素值。

假定正方形边长为1，则右下角变换前坐标为(1, 0)，变换后坐标为(cosθ, sinθ)；而左上角变换前坐标为(0, 1)，变换后坐标为(-sinθ, cosθ)。

然后将这两个点代入变换矩阵，即可求得。

注意此时是将逆时针旋转视为正向角度，因此该矩阵就是逆时针旋转矩阵。

那么顺时针的旋转矩阵是什么呢？根据三角函数的规律，sin-θ = -sinθ，cos-θ=cosθ，可知，顺时针旋转矩阵如下

如果与逆时针旋转矩阵对比会发现，两者互为转置矩阵，而且互为逆矩阵，这种逆矩阵等于转置矩阵的情况数学上称为正交矩阵。

不止2D，扩展到更高维度的旋转矩阵也满足这一规则。

因此如果需要反向旋转，只需要将旋转矩阵转置再进行计算即可。

 

齐次坐标（Homogenous Coordinates）

刚才说了缩放、剪切和旋转，唯独没有说到平移。

乍一看，平移应该是最简单的坐标变换，可以很轻易的写成如下形式：

但如果要把它转换成线性变换矩阵则有些无从下手，不能写成和缩放旋转类似的矩阵相乘形式。为了让平移变换的形式与其他变换形式统一，于是引入了齐次坐标变换的概念。

所谓齐次坐标，就是给数据进行升维，二维点坐标(x, y)描述为(x, y ,1)；二维向量(x, y)描述为(x, y ,0)。

这样，再回到刚才的位移变换中，就可以写成以下形式。

之所以区分点坐标和向量，是因为向量具有平移不变性，只有方向和长度的区别，与位置无关。这样，向量经过平移变换后不会被改变；同时两个点的坐标相减后，z坐标从1变为0，符合向量的定义。

齐次坐标还有一个重要的性质，就是数乘不变性，也就是(x,y,z,1)、(kx,ky,kz,k!=0)、(xz,yz,zz,z!=0)代表了三维空间中的同一个点(x,y,z)，因此(x,y,z,1)+(a,b,c,1) = (x+a,y+b,z+c,2) = ((x+a)/2,(y+b)/2,(z+c)/2,1)，这意味着齐次坐标下两个点相加等于两个点的中点。

这就涉及到投影空间的概念了，之后有机会再单独开篇介绍。

这样一来，就可以将位移与rotation，scaling结合在一起，这种既有scale、rotation等，又有translation的变换，被称之为仿射变换（Affine Transformations）。

而2D线性变换的定义也就变成了下面这个形式。

要注意的是，对于仿射变换，会先进行线性变换(即scale，rotation，shear这些)，之后才会进行位移！因为前者是基于原点的，而位移会让图形离开原点。

而 对于多重变换来说，可以写成以下形式

多个变换矩阵中，A1先和坐标进行计算，然后A2、A3，而由于矩阵乘法满足结合律，因此可以先将变换矩阵之间进行相乘，最后再乘以点坐标。这样再复杂的变换也可以汇总成一个变换矩阵来表示。

反过来说，既然可以组合，自然也可以进行分解。

例如沿某个点进行旋转，可以先平移图形到该点位于原点，再进行旋转，最后将图形反向位移回去。

 

3D线性变换

从2D变换矩阵推算3D变换矩阵也比较简单。

 

3D缩放(scaling)，3D剪切(shearing)

缩放很简单，依然是对角阵。

剪切也很类似

 

3D旋转（Rotation）

对于3D绕原点旋转来说一共有3类矩阵，分别对应绕x轴，y轴，z轴旋转！

由于采用的是右手系空间坐标，所以在二维之中逆时针旋转矩阵是x轴向y轴旋转，根据右手螺旋定则，对应到3维便是绕z轴旋转(x轴转向y轴)，不难推出绕x轴旋转(y转向z)，绕y轴旋转(z转向x)。

对应二维旋转矩阵能够类推得到三维旋转矩阵如下：

绕z轴，故z不变，且x转向y，左上角与二维逆时针旋转矩阵相同。

绕x轴，故x不变，且y转向z，右下角与二维逆时针旋转矩阵相同。

绕y轴会有一点不同，根据右手螺旋定则，绕y轴旋转是从z轴向x轴方向旋转，只要记住右手坐标系时，y轴=z叉乘x=-x叉乘z，很快就能反应过来。

 

绕任意轴旋转

与2D绕点旋转类似，先把该轴旋转到x或者y或者z轴上，接着就可以应用上面的标准旋转矩阵，最后再把该轴逆旋转回它原先的地方就完成了。用矩阵表示如下：

这里的Rx是知道的，也就是3维下绕x轴旋转的矩阵，那么根据之前的分析问题只剩怎么求R1了，设我们想围绕旋转的轴为u，R1便是将u旋转到x的矩阵。 具体来说这里需要以u为一轴，构造一个3维正交坐标系，然后将u和x对齐，那么其它两轴就肯定和y和z对齐了。

构造如下，任取一t方向不与u重合。

w = t x u

v = u x w

此时u, w, v便是我们构造出的新坐标系(这里运用了一些叉乘的几何性质)。

现在得到了u,w,v 对应 x,y,z，如何将这个新坐标系与原始坐标系重合呢？

这其实很简单，直接取R1 = (u,w,v), 该旋转矩阵的含义便是将x, y, z旋转到u，w，v的旋转矩阵(直接计算R1 * x，R1 * y，R1 * z试试便一目了然)。

上一节总结到，旋转矩阵是正交矩阵，旋转矩阵的转置便是它的逆，也是几何意义上的反方向旋转，因此R1T便是将u,w,v旋转到x,y,z的矩阵了。

现在围绕任意轴的旋转矩阵也就得到了。

 

3D齐次坐标

3D的齐次坐标与2D一致，这里不再进行说明，只给出3D线性变换的齐次坐标定义。

 

本文参考自闫令琪老师的《GAMES101-现代计算机图形学入门》以及孙小磊的计算机图形学系列笔记，感谢。

 

使卵石臻于完美的，
并非锤的打击，
而是水的且歌且舞。

《飞鸟集》
——泰戈尔